1
Fondasi: Dari Pemisahan Variabel hingga Operator S-L
MATH009Lesson 11
00:00

Teori Sturm-Liouville (S-L) muncul sebagai jembatan matematis antara hukum kekekalan fisika—yang mengatur fenomena seperti getaran tali dan transmisi listrik—dengan bahasa formal operator linear. Dengan menerapkan Hukum Kedua Newton pada elemen infinitesimal $\Delta x$ dan menggunakan metode pemisahan variabel, kita mengubah Persamaan Diferensial Parsial (PDE) tertentu menjadi kerangka umum ODE $(p(x)X')' - q(x)X + \lambda r(x)X = 0$.

Fisika Gerak: Dari Tali hingga Persamaan

Hukum Newton, sebagaimana berlaku pada elemen $\Delta x$ dari tali, menyatakan bahwa gaya eksternal bersih, akibat tegangan di ujung-ujung elemen, harus sama dengan hasil kali massa elemen dan percepatan pusat massa elemen tersebut: $\rho \Delta x u_{tt}(\bar{x}, t)$.

Memecah tegangan $T$ menjadi komponen horizontal $H$ dan vertikal $V$ (seperti yang terlihat di Gambar 10.B.1), kita menetapkan keseimbangan dan gerak:

  • Keseimbangan Horizontal: $T(x + \Delta x, t) \cos(\theta + \Delta \theta) - T(x, t) \cos \theta = 0$ (menghasilkan $H$ konstan).
  • Gerak Vertikal: $\frac{V(x + \Delta x, t) - V(x, t)}{\Delta x} = \rho u_{tt}(\bar{x}, t)$, yang mengarah pada hubungan gradien $V_x(x, t) = \rho u_{tt}(x, t)$.
  • Propagasi Gelombang: Dengan mensubstitusi $V(x, t) = H(t) \tan \theta \approx H(t) u_x(x, t)$, menghasilkan $H u_{xx} = \rho u_{tt}$, atau standar persamaan gelombang untuk satu dimensi ruang: $a^2 u_{xx} = u_{tt}$, di mana $a^2 = \frac{T}{\rho}$ adalah kecepatan gelombang.

Persamaan Telegraf dan Generalisasi

Sistem dunia nyata jarang ideal. Mereka memasukkan gaya redaman viskos ($-c u_t$) dan gaya pemulihan elastis ($-k u$). Ini menghasilkan persamaan telegraf:

$$u_{tt} + c u_t + k u = a^2 u_{xx} + F(x, t)$$

Persamaan telegraf juga mengatur aliran tegangan atau arus dalam jalur transmisi (oleh karena itu namanya); dalam kasus ini koefisien-koefisien berkaitan dengan parameter listrik pada jalur. Memperluasnya ke dimensi lebih tinggi memberikan kita $a^2(u_{xx} + u_{yy}) = u_{tt}$ atau $a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = u_{tt}$.

Asal Usul Operator S-L

Ketika kita menerapkan pemisahan variabel ($u = X(x)T(t)$) pada persamaan umum seperti $r(x) u_t = (p(x) u_x)_x - q(x) u$, kita mendapatkan rasio yang sama dengan konstanta pemisahan $-\lambda$:

Langkah Pemisahan
$$\frac{T'}{T} = \frac{(p(x) X')'}{r(x) X} - \frac{q(x)}{r(x)} = -\lambda$$
ODE Hasil

Ini memaksa komponen waktu menjadi $T' + \lambda T = 0$ dan komponen spasial menjadi bentuk dasar S-L:

$$(p(x) X')' - q(x)X + \lambda r(x)X = 0$$
🎯 Prinsip Utama
Operator S-L $L[y] = -(p(x)y')' + q(x)y$ bertindak sebagai wadah universal bagi dinamika spasial. Baik kita mulai dari konduksi panas ($\alpha^2 u_{xx} = u_t$) maupun getaran tali ($a^2 u_{xx} = u_{tt}$), komponen spasial $X(x)$ selalu berkurang menjadi masalah nilai eigen S-L.